सार:
2026 फील्ड्स मेडल विजेता वांग होंग ने त्रि-आयामी काकेतानी सेट अनुमान के प्रमाण के साथ गणित में सर्वोच्च सम्मान जीता। एक सदी तक चली इस ज्यामितीय समस्या ने उसके हाथों में दो आयामों से तीन आयामों तक एक ऐतिहासिक छलांग लगाई है, और पिछले दशक में सबसे महत्वपूर्ण गणितीय सफलता बन गई है।
सिर्फ तीन महीने बाद, ओपनएआई ने इस शोध को एक बड़ा कदम आगे बढ़ाया: इसने न केवल अधिक कठिन त्रि-आयामी काकेया अधिकतम फ़ंक्शन अनुमान को हल किया, बल्कि पहली बार यह भी साबित किया कि चार-आयामी काकेया सेट का हॉसडॉर्फ आयाम 4 के बराबर है, जो 3.059 आयामों पर अटके हुए मनुष्यों के पिछले सर्वश्रेष्ठ रिकॉर्ड को एक आयाम से ऊपर धकेलता है, सैद्धांतिक ऊपरी सीमा तक पहुंचता है।
हालाँकि, यह गणितीय दुनिया के लिए OpenAI की चुनौती में हिमशैल का टिप मात्र है।
इस बार, ओपनएआई ने एक सांस में 722 गणितीय पांडुलिपियां जारी कीं, जिन्हें 372 परिणाम परिवारों में वर्गीकृत किया गया, जिसमें काकेया समस्या से कहीं आगे के क्षेत्रों को शामिल किया गया, जिसमें अर्ध-रीमैन परिकल्पना, हिल्बर्ट की दसवीं समस्या, कैटलन निरंतर-संबंधी समस्याएं और दर्जनों अन्य क्लासिक समस्याएं शामिल हैं, जिन्होंने कई वर्षों से अकादमिक समुदाय को परेशान किया है। सभी सामग्रियाँ एक आंतरिक मॉडल से ली गई हैं जिसका नाम भी नहीं दिया गया है। प्रत्येक समस्या का समाधान करने में औसतन केवल 3 घंटे का समय लगता है।
OpenAI ने इन पांडुलिपियों को GitHub पर पोस्ट किया, और ऑनलाइन होने के 24 घंटों के भीतर, इसे 10,000 स्टार प्राप्त हुए।
एसोसिएशन फॉर ह्यूमन मैथमेटिक्स ने कहा: "गणितज्ञों ने ओपनएआई को यह काम करने के लिए नहीं कहा।" उन्होंने यह भी कहा कि इन पांडुलिपियों में सत्यापन का अभाव था और ये ओपनएआई द्वारा सिर्फ एक और "प्रदर्शन विपणन" थे।
पांडुलिपि संख्या 074 वास्तव में क्या है?
काकेया की समस्या की उत्पत्ति 1917 में जापानी गणितज्ञ सोइची काकेतानी द्वारा पूछा गया एक प्रश्न है: मान लीजिए कि आपके पास एक पतली सुई है, इसे एक सपाट सतह पर रखें, और इसे एक सर्कल में घुमाएं (या इसे सभी दिशाओं में इंगित करें)। वह सबसे छोटा क्षेत्र कौन सा है जिसे सुई साफ़ कर सकती है?
सहज रूप से कहें तो, सुई की लंबाई होती है, इसलिए जब वह एक बार घूमती है तो उसे डिस्क को बाहर निकालना चाहिए, है ना?
ऐसा नहीं है. बाद में, गणितज्ञ बेसिकोविच ने साबित किया कि जब तक रोटेशन विधि पर्याप्त "स्मार्ट" है, सुई द्वारा घुमाया गया क्षेत्र मनमाने ढंग से छोटा हो सकता है, यहां तक कि आपके द्वारा निर्दिष्ट किसी भी सकारात्मक संख्या से भी छोटा हो सकता है।
इस आधार पर, गणितज्ञों ने "शून्य क्षेत्र" के साथ एक सेट का निर्माण किया जिसमें अभी भी प्रत्येक दिशा में रेखा खंड शामिल हैं। इस प्रकार के सेट को "बेसिकोविच सेट" या "काकेतानी सेट" कहा जाता है।
चूँकि क्षेत्रफल 0 जितना छोटा हो सकता है, क्या यह समस्या समाप्त नहीं हो जाती? लेकिन कोई नहीं।
क्योंकि "क्षेत्रफल शून्य है" का अर्थ केवल यह है कि इस सेट की कोई मोटाई नहीं है और यह कोई स्थान नहीं लेता है, लेकिन यह व्यक्त नहीं कर सकता कि यह कितना "जटिल" है।
एक रेखा और रेखाओं के एक गोले का गणितीय क्षेत्रफल 0 हो सकता है, लेकिन जाहिर है कि दोनों एक ही चीज़ नहीं हैं।
तो गणितज्ञों ने अपनी सोच बदल दी। हालाँकि इस सेट का कोई क्षेत्रफल नहीं है, क्या यह एक रेखा या सतह की तरह है, या यह किसी ठोस चीज़ के करीब है? तो "आयाम" हैं।
एक रेखा एक-आयामी है, कागज का एक टुकड़ा दो-आयामी है, और एक बॉक्स त्रि-आयामी है। लेकिन कुछ विशेष रूप से "विरल" सेटों के लिए, आयाम दशमलव भी हो सकता है, जैसे 2.5 आयाम।
"हॉसडॉर्फ़ आयाम" सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले शासकों में से एक है। इसका तर्क एक सेट को कवर करने के लिए बहुत छोटी गेंदों का उपयोग करना है। कितनी गेंदों की जरूरत है? यदि गोले की त्रिज्या आधी कर दी जाए, और आवश्यक गोले की संख्या दोगुनी कर दी जाए, तो सेट एक रेखा की तरह एक-आयामी है; यदि यह चौगुना है, तो यह एक विमान की तरह द्वि-आयामी है; यदि यह आठ गुना है, तो यह एक ठोस शरीर की तरह त्रि-आयामी है। बीच में दशमलव आयाम है.
द्वि-आयामी विमान में, गणितज्ञों ने 1971 में ही साबित कर दिया था कि सभी दिशाओं में रेखाखंडों वाले किसी भी सेट का आयाम 2 होना चाहिए, भले ही उसका क्षेत्रफल 0 हो।
त्रि-आयामी अंतरिक्ष के बारे में क्या? चौथे आयाम के बारे में क्या? उच्च आयामों के बारे में क्या? गणितज्ञों का अनुमान है: एन-आयामी अंतरिक्ष में, जब तक एक सेट में सभी दिशाओं में इकाई-लंबाई रेखा खंड होते हैं, तब तक इसका हॉसडॉर्फ आयाम एन के बराबर होना चाहिए, भले ही इसकी मात्रा 0 हो। यह प्रसिद्ध "काकेया सेट अनुमान" है।
2026 में, वांग होंग ने फील्ड्स मेडल जीता। पुरस्कार का आधिकारिक कारण फूरियर सीमा समस्या और त्रि-आयामी काकेया समस्या में उनकी महत्वपूर्ण प्रगति थी। उनमें से सबसे प्रमुख और सबसे प्रसिद्ध त्रि-आयामी काकेया सेट अनुमान है जिसका पहले उल्लेख किया गया है।
ओपनएआई ने इस बार जिन दो समस्याओं का समाधान किया, वे वांग होंग के "पावर-एन्हांस्ड संस्करण" हैं।
पहला त्रि-आयामी काकेया अधिकतम फ़ंक्शन अनुमान है।
नाम में "अधिकतम" का तात्पर्य "अधिकतम मूल्य चुनने" की प्रथा से है।
मान लीजिए कि अंतरिक्ष में असमान घनत्व वाला कोहरा है। एक पतला तिनका लें और इसे अलग-अलग स्थिति में चूसें। भूसे में निहित धुंध की औसत सांद्रता भिन्न होगी।
इस दिशा में सभी संभावित प्रक्षेपों का प्रयास करें, और केवल उच्चतम सांद्रता वाले को ही रिकॉर्ड करें। यह "उच्चतम मान" इस दिशा में "अधिकतम मान" है।
दिशा फिर से बदलें, वही चीज़ दोहराएं, और एक और "उच्चतम मान" प्राप्त करें। सभी दिशाओं में उच्चतम मान एकत्रित करके, "दिशा और उच्चतम मान" के बीच एक संगत संबंध प्राप्त किया जाता है। गणितज्ञ इसे "काकेया अधिकतम फलन" कहते हैं।
दूसरा चार-आयामी हॉसडॉर्फ आयाम अनुमान है, यानी पिछले निष्कर्ष को तीन आयामों से चार आयामों में ले जाना।
चार-आयामी अंतरिक्ष में काकेया सेट का आयाम 4 होना चाहिए। चार आयामों में मनुष्यों का वर्तमान सर्वोत्तम परिणाम 2021 में "प्लेनब्रश" प्रदर्शन का उपयोग करके प्राप्त 3.059 है। दूसरे शब्दों में, यह केवल साबित किया जा सकता है कि यह कम से कम 3.059 आयाम है। 3.059 से 4 तक, यह एक आयाम में प्रत्यक्ष वृद्धि के बराबर है।
द्वि-आयामी से त्रि-आयामी तक, समस्या की कठिनाई लगभग एक "गुणात्मक परिवर्तन" है; त्रि-आयामी से चार-आयामी तक यह एक गुणात्मक परिवर्तन भी है। क्योंकि आयामीता जितनी अधिक होगी, वे "ट्यूब" उतने ही अधिक तरीकों से प्रतिच्छेद कर सकते हैं और ढेर हो सकते हैं, और गणितज्ञों को उतनी ही अधिक जटिल ज्यामितीय स्थितियों से निपटने की आवश्यकता होती है।
इसलिए, यदि गणितज्ञों को इन दोनों अनुमानों को स्वयं पूरा करना होता, तो इसमें कम से कम कई वर्ष लगेंगे।
हालाँकि, OpenAI के अपने बयान के अनुसार, पूरी प्रक्रिया काफी "सरल" है।
एक अप्रकाशित आंतरिक मॉडल और एक त्वरित शब्द का उपयोग करें, और एक एजेंट को इसे चलाने दें। औसतन, प्रत्येक परिणाम में केवल 3 घंटे की चैटजीपीटी प्रो सोचने की शक्ति की खपत होती है।
संपूर्ण मूल्यांकन प्रक्रिया के दौरान, मॉडल में लगभग 4,000 प्रश्न पूछे गए। विलय और स्क्रीनिंग के बाद, वर्तमान 722 पांडुलिपियाँ शेष रह गईं।
ओपनएआई ने फील्ड्स मेडल को पीछे छोड़ दिया?
यदि पुआल को बहुत अधिक ढेर में नहीं रखा गया है, तो उनके द्वारा कब्जा किया गया कुल क्षेत्र स्वाभाविक रूप से नगण्य होगा। इसलिए, एक बार अधिकतम फ़ंक्शन अनुमान स्थापित हो जाने पर, अनुमान का सेट संस्करण सीधे प्राप्त किया जा सकता है।
इसलिए, कुछ नेटिज़न्स ने कहा कि फील्ड्स मेडल को पार करने में AI को केवल तीन घंटे लगे। हालाँकि, यह वास्तव में एक प्रकार का पूर्वाग्रह है। यह न केवल फील्ड्स मेडल को हेय दृष्टि से देखता है, बल्कि वांग होंग के शोध परिणामों को समझने में भी विफल रहता है।
क्योंकि OpenAI का तर्क शुरू से शुरू नहीं होता है। नंबर 074 परिणाम परिवार ने स्पष्ट रूप से कहा कि यह वांग होंग के शोध परिणामों पर आधारित था और इसे हवा में नहीं बनाया गया था।
यह गणितीय शोध के मानदंडों के अनुरूप भी है। मानव इतिहास में लगभग हर बड़ी सफलता पूर्ववर्तियों के कंधों पर टिकी है, और वांग होंग का प्रमाण भी "स्टिकी काकेया सेट" पर उनके पिछले काम और पिछले तीस वर्षों में कई गणितज्ञों के परिणामों पर आधारित है।
इससे भी अधिक संयोग की बात यह है कि मार्च 2025 की शुरुआत में, एमआईटी के गणितज्ञ लैरी गुथ ने एक साक्षात्कार में भविष्यवाणी की थी कि दो आयामों से तीन आयामों में जाना सबसे कठिन कदम है, और वांग होंग के प्रमाण को रूपांतरित किए जाने और उच्च-आयामी समस्याओं के लिए उपयोग किए जाने की संभावना है।
इसलिए, यदि OpenAI का चार-आयामी निष्कर्ष सत्य है, तो एक अर्थ में, यह उस समय के गणितज्ञ के निर्णय को भी मान्य कर रहा है।
हमें "फील्ड्स मेडल से भी अधिक" वाक्यांश को कैसे समझना चाहिए?
सबसे पहले, फील्ड्स मेडल एक गणितज्ञ को उसके समग्र योगदान के लिए पुरस्कृत करता है, न कि केवल एक पेपर के लिए। यह सिर्फ इतना है कि वांग होंग को दिए गए फील्ड्स मेडल में, त्रि-आयामी काकेतानी सेट अनुमान वास्तव में मुख्य परिणाम है।
दूसरा, यदि ओपनएआई की पांडुलिपि संख्या 074 वास्तव में सच है, तो गणितीय "कठिनाई" के एकल आयाम के संदर्भ में, यह वास्तव में उस प्रश्न से अधिक कठिन है जिसके लिए वांग होंग ने पुरस्कार जीता: क्योंकि त्रि-आयामी अधिकतम फ़ंक्शन संस्करण में सेट संस्करण शामिल है, और चार-आयामी हॉसडॉर्फ आयाम समस्या तीन आयामों के बाद मानव जाति का एक और लक्ष्य है जिसे पहले कभी हल नहीं किया गया है।
लेकिन इस वाक्य में एक मुख्य शब्द है, और वह है "यदि"।
पांडुलिपि संख्या 074 में वर्तमान में लीन का कोई औपचारिक प्रमाण नहीं है और इसकी सहकर्मी-समीक्षा नहीं की गई है। जब तक इसे सत्यापित नहीं किया जाता है, तब तक यह "एक कठिन समस्या को हल करने का दावा करने वाला एक पेपर" है न कि "एक कठिन समस्या जो सिद्ध हो चुकी है।" गणित के इतिहास में, ऐसे कई "प्रमाण" हैं जिनकी घोषणा की गई और फिर उन्हें वापस ले लिया गया।
फिलहाल हम अभी भी "अगर" शब्द पर अटके हुए हैं।
वैंग होंग का फील्ड्स मेडल, संपूर्ण शैक्षणिक समुदाय द्वारा महीनों के परीक्षण और समीक्षा के बाद, अब इस क्षेत्र की आधारशिला बन गया है। भले ही ओपनएआई पांडुलिपि अंततः स्थापित हो या नहीं, इसका प्रारंभिक बिंदु इस आधारशिला से अविभाज्य है।
सत्यापन सबसे कठिन है
वास्तविक कठिनाई सत्यापन है। गणित की सत्यापन प्रक्रिया संपूर्ण गणितीय अनुसंधान के सबसे अधिक श्रम-गहन पहलुओं में से एक है।
उदाहरण के तौर पर वांग होंग को लें।
फरवरी 2025 में, उन्होंने अकादमिक प्रीप्रिंट वेबसाइट arXiv पर त्रि-आयामी काकेया सेट अनुमान का प्रमाण पोस्ट किया, जो लगभग 127 पेज लंबा है।
पेपर जारी होने के बाद, इसे तुरंत "सही" के रूप में मान्यता नहीं दी जाती है। पेपर का लेखक द्वारा बार-बार आत्म-निरीक्षण किया गया है, और टेरेंस ताओ जैसे प्रसिद्ध विद्वानों द्वारा लंबा विश्लेषण किया गया है। क्वांटा पत्रिका ने इसे "सदी में एक बार" प्रमाण कहा।
सत्यापन कार्य फरवरी 2025 से जुलाई 2026 में फील्ड्स मेडल की घोषणा तक चला, जिसमें लगभग डेढ़ साल लग गए। आज भी, कई गणितज्ञ प्रमाणों के इस सेट में नए विचारों को पूरी तरह से आत्मसात और पचा नहीं पाए हैं।
इसका मतलब यह है कि एक शीर्ष मानव गणितज्ञ द्वारा लिखे गए 100 से अधिक पृष्ठों के प्रमाण को व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त होने से पहले एक वर्ष से अधिक समय तक सामूहिक समीक्षा से गुजरना होगा।
अब एक साथ 722 आर्टिकल आ गए हैं.
इतना ही नहीं, OpenAI द्वारा जारी 722 पांडुलिपियों में से कई सैकड़ों पृष्ठों की लंबी दलीलें हैं। यदि प्रत्येक लेख को कई महीनों तक पढ़ने के लिए एक विशेषज्ञ की आवश्यकता होती है, तो दुनिया में केवल कुछ दर्जन विशेषज्ञ ही हो सकते हैं जो किसी एक लेख को समझ सकते हैं, या उससे भी कम।
इसके अलावा, इन विशेषज्ञों में से प्रत्येक का अपना शोध है, और OpenAI के लिए "समीक्षक के रूप में कार्य करने" के लिए सभी काम करना असंभव है।
अधिक परेशानी की बात यह है कि OpenAI के एक प्रवक्ता ने स्वीकार किया कि इनमें से कई परिणाम OpenAI के अपने गणितज्ञों द्वारा पूरी तरह से समझ में नहीं आए हैं, जिसमें ऊपर उल्लिखित पांडुलिपि संख्या 074 भी शामिल है।
इसलिए गणित समुदाय द्वारा दी गई प्रतिक्रियाएं अधिक संदेहपूर्ण हैं।
इस तरह की चिंता आज के लिए नई बात नहीं है।
8 सितंबर, 2026 को, OpenAI ने घोषणा की कि उसके आंतरिक मॉडल ने नेवियर-स्टोक्स समीकरण की सहस्राब्दी समस्या को हल कर दिया है। ऐसा कहा गया था कि समानांतर गणना के लिए लगभग 10,000 एजेंटों का उपयोग किया गया था।
हालाँकि, ब्राउन यूनिवर्सिटी के गणितज्ञ गोमेज़-सेरानो ने हार्वर्ड में एक व्याख्यान में उल्लेख किया कि प्रासंगिक 166 पेज का प्रमाण "समझ से परे" है।
11 सितंबर को, 25 फील्ड्स मेडल विजेताओं (टेरेंस टेरू और अन्य सहित) ने संयुक्त रूप से एक सार्वजनिक बयान "गणित में आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस का गंभीर गलत स्थान" जारी किया, जिसमें मॉडल क्षमताओं को प्रदर्शित करने के लिए एक विपणन उपकरण के रूप में "प्रसिद्ध समस्याओं पर काबू पाने" का उपयोग करने और इसे जल्दबाजी में जारी करने के लिए एआई कंपनियों की आलोचना की गई। इससे न केवल गणित के विकास को बढ़ावा नहीं मिला, बल्कि गणित समुदाय पर भी इसका नकारात्मक प्रभाव पड़ा।
21 सितंबर को, ओपनएआई ने गणितज्ञों से बने एक स्वतंत्र सलाहकार समूह (एजीएमएआई, प्रिंसटन में उन्नत अध्ययन संस्थान में स्थित) की स्थापना की घोषणा की। 29 सितंबर को, सलाहकार समूह ने कहा कि एआई द्वारा उत्पन्न गणितीय परिणामों को प्रकाशित करते समय, यह इस्तेमाल किए गए मॉडल, विशिष्ट त्वरित शब्दों और गणना समय का भी खुलासा करेगा।
लेकिन इस बार OpenAI द्वारा जारी की गई 722 पांडुलिपियों में से केवल "औसत गणना समय" जैसे समग्र आंकड़ों की घोषणा की गई। किसी त्वरित शब्द की घोषणा नहीं की गई, और किसी मॉडल का खुलासा नहीं किया गया।
एमआईटी के गणितज्ञ एंड्रयू सदरलैंड ने कहा: "जब तक वे मॉडल को प्रकाशित नहीं करते हैं ताकि हर कोई इसे पुन: पेश कर सके, यह विचार कि एक एकल एजेंट एक संकेत के साथ समस्या का समाधान कर सकता है, अप्रमाणित माना जाना चाहिए। हमें 'रसीद' देखने की मांग करनी चाहिए।"
इसका तात्पर्य यह है कि ये 722 पांडुलिपियाँ सभी "नकली समाचार" हैं।
7 अक्टूबर को, शुरुआत में उल्लिखित मानविकी और गणित एसोसिएशन का मानना था कि "एक समय में 700 से अधिक दस्तावेज़ जारी करना शिक्षाविदों को नहीं, बल्कि एक प्रकार की शक्ति को दर्शाता है।" इसके बाद, एसोसिएशन ने गणितज्ञों से OpenAI के साथ सहयोग बंद करने का आह्वान किया।
बेशक, एक और आवाज़ है। टोरंटो विश्वविद्यालय के डैनियल लिट ने कहा, "अगर हम इन गणितीय समस्याओं के उत्तर जानना चाहते हैं, तो मुझे कंपनियों से उन्हें छिपाने के लिए कहने का कोई कारण नहीं दिखता... यह गणित के लिए अच्छी बात है।"
गणितज्ञ इन 722 पांडुलिपियों को कम समय में सत्यापित नहीं कर सकते, इसलिए वे लीन के माध्यम से इन्हें सत्यापित करने की आशा करते हैं।
लीन एक "प्रूफ असिस्टेंट" और एक प्रोग्रामिंग भाषा है। गणितज्ञों को प्रमाण के प्रत्येक चरण का ऐसी सख्त भाषा में अनुवाद करने की आवश्यकता है जिसे लीन समझ सके। फिर लीन सिस्टम चरण दर चरण इसकी जांच करता है। जब तक कोई भी कदम अस्पष्ट है या छोड़ दिया गया है, वह विफल रहेगा। एक बार पारित हो जाने पर, प्रमाण लगभग निश्चित रूप से तार्किक रूप से त्रुटि-मुक्त होता है।
सार्वजनिक कैटलॉग के अनुसार, 722 पांडुलिपियों में विलय किए गए 372 परिणाम परिवारों में से 235 में लीन औपचारिक विवरण हैं, जो लगभग 63% है।
लेकिन लीन सर्वशक्तिमान नहीं है। गणितज्ञ गिल कलाई ने कहा कि लीन के सत्यापन में भी दिक्कतें आ सकती हैं. उदाहरण के लिए, किसी गणितीय समस्या का लीन भाषा में अनुवाद करते समय, यदि अनुवाद में ही कोई विचलन होता है और मशीन सत्यापन पास हो जाता है, तो यह मूल समस्या नहीं हो सकती है। इसके अलावा, लीन केवल यह पुष्टि कर सकता है कि यह "तार्किक रूप से अनुचित" है, लेकिन यह निर्णय नहीं कर सकता कि परिणाम नया है या मूल्यवान है।
इसलिए, पांडुलिपि संख्या 074, जिसे लीन द्वारा औपचारिक नहीं किया गया है, केवल गणितज्ञों द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।
यदि पांडुलिपि संख्या 074 अंततः सही साबित होती है, तो यह गणित के इतिहास में एक ऐतिहासिक घटना होगी।
काकेया समस्या को तीन आयामों तक आगे बढ़ाने में 100 साल से अधिक का समय लगा, लेकिन एआई ने केवल तीन घंटों में कई कदम आगे बढ़ा दिए।
इसी तरह, अंत में यह पता चल सकता है कि पांडुलिपि संख्या 074 वास्तव में गलत है।
अंतिम विश्लेषण में, क्या एक "प्रमाण" जिसे मनुष्य थोड़े समय में सत्यापित नहीं कर सकता, उसे प्रमाण कहा जाना चाहिए? यह गणितीय समुदाय के लिए छोड़ी गई वास्तविक पहेली है।
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